サイト名が商標権侵害

ご質問確認させていただきました。
レンタルサーバからの連絡の内容がわかりませんので、詳細な検討はできませんが、まず一般的な対応についてコメントさせていただきます。

まず、mugi様がまずするべきことは、
（１）レンタルサーバの管理者に問合わせ、mugi様の氏名・住所などの開示を要求している相手側の名称、住所、商標登録出願番号などを確認することです。
（２）商標登録出願番号がわかったら、商標権の存在自体を、下記、工業所有権情報・研修館の電子図書館で確認してください。

http://www.ipdl.inpit.go.jp/Syouhyou/syouhyou.htm

なお、タイミングが良ければ、商標登録出願が、登録されているかどうかについてもわかると思います。
（３）商標登録出願がある場合、相手の住所・名称が一致しているか否かを確認してください。
（４）商標登録出願がない場合や、登録商標があっても、氏名などの開示を要求する相手の名称・氏名などが異なる場合、その旨をレンタルサーバの管理者に連絡して、mugi様の氏名などの開示を拒否してもらってください。
（５）以後の対応は、相手側の情報開示があり、商標権の存在を確認した後に検討すればよいと思います。
（６）（５）で相手側の情報開示があり、登録商標の存在も確認できた場合には、ウェブサイトという匿名性の高いサービスという環境では、相手側の要求も理解できますので、相手側の要求に理由があるかどうかの判断、相手側に対する対応、mugi様側での先使用権の有無などの判断については、若干費用がかかりますが、やはり専門の弁理士・弁護士などにご相談されるのが早道と思います。
（７）以上、簡単に開設できるウェブサイトですが、そのサービス名称などについては、上記ＩＰＤＬなどで充分に検索を行ってからネーミングした方が安心です。

確定的なことは申し上げられませんが、損害賠償請求をしたいというような相手側の主張は、おそらく、使用を停止させたいがための脅し文句だと思われます。

また、損害が発生していないのであれば、訴訟をしても賠償金を取得できるはずがないので、訴訟費用・訴訟期間を考慮すると、とても、提訴するとは考えられません。

なお、使用停止したとのことですから、その旨をレンタルサーバさん経由で相手側に知らせていただくように要請されると良いと思います。

また、今後のため、貴殿にて使用されるサイト名を商標登録されたらいかがでしょうか。そうすれば、箱が変わっても一貫してそのサイト名を使用することで、今回のような事態を未然に防止にも役立つかと思います。