急に呼吸がおかしくなった。

質問が多岐にわたりますので、一度まとめて回答させて頂きます。

・足のイボの治療・検査について（外用薬ではなく、なぜ飲み薬なのか？）
・もし肥満細胞腫だったら、どのようになるのか？
・肥満細胞腫と嘔吐との関係性
・散歩の途中に呼吸がおかしくなったが、大丈夫か？
の４点だと思います。

ひとつひとつ答えていきましょう。
足のイボの検査についてですが、小さいイボの場合は針が貫通してしまったり、細胞が取れにくく針を何度も刺すことになったり、検査が困難になることがあります。
足の先端は犬にとって敏感な場所なので、針を刺して行う検査にはやはり痛みを伴います。 痛みを伴うのに検査結果があまり有用でない場合は、少し時間をおいてイボ自体の変化をみて今後の治療方針を考えるのは普通のことです。
また、内服薬だったということですが、仮に肥満細胞腫以外の腫瘍であった場合でも皮膚腫瘍の多くには 内服薬および外用薬での対応はできません。今回は皮膚の疾 患（毛包嚢腫など）を疑って、まずは治療をされているのではないでしょうか？

次に肥満細胞腫だったらどのようになるか（赤くなるのか、大きくなるのか）？ということですが
これには特別決まったパターンは存在しません。
脱毛し赤くドーム状に腫れるなど、ある程度決まったパターンはありますが、柔らかいものもあれば、疣贅（イボのような形）状の場合もあります。
大きくなるかどうかも同様です。腫瘍には悪性度といって、炎症や成長の度合いがそれぞれ異なるので、なんとも言えないということになります。

肥満細胞腫と嘔吐との関係性ですが、ごくまれにヒスタミンという物質を多く産生する肥満細胞腫だった場合に、 嘔吐がみられるときがあります。上記で悪性度という言葉を用いましたが、ヒスタミンを多く産生する場合は悪性度が高いように思われます。 悪性度が高い場合は、一般に大きくなりやすく、炎症が強いため、自潰することが多いです。
今回の場合は以前から見られる草を食べるという行為に関してですので、これも今回のイボと明らかに関係があるとは言えないでしょう。

呼吸に関しては正直申し上げると、犬種なども関わってくることと、擬音での表現だけでは判断は難しいです。しかし、今回の状況から考えると逆くしゃみ症候群などが関連している可能性もあるかと思います。
逆くしゃみ症候群とは詳しい原因は不明といわれていますが、現在では咽喉頭部になんらかの刺激があると排泄を促すために鼻くしゃみのような症状が出ると考えられています。刺激がなくなれば、元に戻るという不思議な症状ですが、病気ではないので心配は不要です。刺激物が食道に流れ込めば、症状が消えるので、最後に飲み込むようなしぐさがみられることが多いです。
今回のケースでいうと、突然なって、水を飲んで治ったということ、その後明らかな再発などがみられていないことから突発的に起こる逆くしゃみ症候群ではないかと考えました。最近は動画などもインターセットで公開されているので、ご覧になっても良いと思います。
もちろん、他の呼吸器の病気の可能性がないわけでは ないので、よく観察してみてください。
他には異物が鼻に入るという可能性を考えますが、通常は口から鼻の裏に入り込みます。
鼻腔は外から観察することは基本的には不可能ですから、鼻の入り口の状況は特別なことがなければ今回は関係ないでしょう。
鼻に異物が混入し、体に影響が出るときは、くしゃみ鼻水が主症状になることが多いですから、今回のこととも違うように感じます。

最後になりましたが、散歩に連れて行って良いでしょうか？ということですが
もちろん散歩には行ってあげてください。外でしかできない行動、臭いをかぐ行動、運動、すべてを犬は楽しみに散歩に出かけます。
先日も芒のことなどを心配されていたようですが、ごくごく稀に起きる トラブルを考えていたら散歩ができなくなってしまいます。
すごく大切にされているので心配になってしまうようですが
何か起きたときはその時にかかりつけの先生に相談すれば良いのではないでしょうか？