株式会社アースソリューションの寺崎でございます。

ご質問いただき、ありがとうございます。
あくまで一般論としてのご回答となりますが、ご了承くださいませ。
より詳しいアドバイスをご希望の場合は、税理士等にご相談されますことをおすすめいたします。

結論から申しますと、義父様から事業を承継することは可能かと思います。

法人（株式会社を前提とします）の事業承継手続きであれば、経営の承継（人的承継）と自社株の承継（物的承継）の2つを併行して進め、先代から代表取締役の地位（取締役会があれば決議を受ける）を引き継ぎ、同時に自社株の承継で支配権を得ることにより、形式的に手続きが完了します。

これに対し、今回のご質問のような「個人事業」の場合、代表取締役という法的な地位も株式もないため、法人とは手続きが異なります。
個人事業主の承継は、後継者（今回のケースでは貴殿）が事業を開業することで人的承継が行われ、先代から事業用資産・債務を引き継ぐことで物的承継が完了します。

個人事業主の事業用資産・債務を引き継ぐ方法としては、「売買」「贈与」「相続」のいずれかに当てはまります。

売買とは、いわゆる事業譲渡（M&A）です。
金銭による売買契約を締結し、先代に売買金額を支払う形態です。
売買金額の設定に先立ち、契約前にデューデリジェンス（事業の査定）が必要です。

贈与は、先代様のご存命のうちに、親族等に贈与を行うことです。先代に資金的余裕があり、または後継者が若くて資金的余裕がない場合に、選択されることが多いようです。

相続は、文字通り相続です。または遺言等による遺贈も含まれます。

私からお伝えできることは以上となります。
より詳しいアドバイスをお求めであれば、税理士や司法書士等にお尋ねくださいませ。

今後のご活躍を心よりお祈り申し上げます。