「総合労働相談コーナー」に相談されてはいかがでしょうか？

派遣業務は私の専門外ですので不確かな部分もありますが、お答えします。

期間の定めのある契約社員として派遣会社と雇用契約を交わしていないようですので、法定試用期間３ヶ月を過ぎていれば、雇用契約解除日の一ヶ月前に通告していなければ抵触する期間の給与は支払う義務がその派遣会社にあるはずです。現在人材派遣会社も就業規則を定めているはずで、当然、雇用契約解除日の一ヶ月前に通告するか、または一ヶ月分の給与を支払うことで即日解約できることになっているはずです。

まずはその人材派遣会社が所在する「総合労働相談コーナー」に相談されてはいかがでしょうか？

「総合労働相談コーナー」の担当者がその人材派遣会社が所在する労働局（監督官庁）の担当者と連携して解決にあたるはずです。人材派遣会社の担当者が「労働局に行くとの事の為、労働局に確認したところ解雇予告手当の対象ではないとのことでした。」といっていることは明確な理由がなく疑問の残る回答だと思います。違法行為であれば、労働局はその人材派遣会社に対して排除命令書を出します。明確に解決しない場合、営業停止や免許取り消しの処置をすると推測します。

「総合労働相談コーナー」の担当者が機能しない場合はその人材派遣会社が所在する労働局に直接相談すればよいと思います。相談前にその人材派遣会社の厚生労働省大臣の許可番号は準備してください。