派遣契約についてお尋ねします。

はじめまして。よろしくお願いします。
私は派遣社員で、今の職場には５年勤めています。業務は派遣法の２６業務のうちで、契約書にも明記されています。
仕事はやりがいがあり、長く働きたいと思っていたのですが、先日上司から次の契約更新はできないかもしれないと言われました。
最近非正規雇用者を正規雇用しなければいけないという風潮(?)になっており、今正社員を雇う予定はないので、長く勤めている人から辞めてもらう、とのことでした。２６業務内で派遣期間の制限はないと思っていたので、とても驚きました。
派遣先は大手企業の子会社で、親会社に準じてコンプライアンスや世間体にとても敏感です。春闘で非正規雇用者の待遇について言われたことから、何か指摘される前に一早く手を打っておこう、という考えのようです。
私自身は、正社員にしてもらえればもちろんありがたいですが、この仕事が好きなので派遣社員のままでも十分だと思っています。雑談に交えて聞いた話なので正式な決定ではないようですが、契約満了が数ヵ月後に迫っており、慌てないよう心の準備をしておきたいと思っています。
そこでお尋ねします。
・上記のような理由で、派遣先は契約を終了することができるのでしょうか。こちらには異議を唱える権利はありますか？
・正式に話が来た場合、派遣会社がどのような立場をとるか分かりません（担当者が頻繁に変わるので、親身になってもらえるかどうか不安です）。派遣会社以外で相談にのってもらえる機関はあるでしょうか。
これまで当り前のように契約更新されていたので、あぐらをかいていたかなと反省しています。お力添えお願いします。