短期雇用での社会保険加入と扶養から外れる場合について。

私は現在無職で社会保険は親の扶養に入っています。
今度派遣社員（短期）の面接を受けることになりましたが、
もし派遣会社への登録が決まったら社会保険関係は自社の物に即日加入となる、とのことでした。

他の質問サイトで、扶養から抜ける場合は新しく保険証などが交付された後でよい、と書いてあるのを読みましたが、
「即日加入」となった場合、その日までに扶養から外れておかないと、重複してしまい登録できない、と言うことがあるでしょうか？
当日まで仕事に登録できるかどうか分からないので、見切り発車で扶養を抜けてしまうと大変そうなので、困っています。

また、事前に扶養から抜けなければならない場合、手続きには何日くらいかかるものでしょうか？
面接から登録までにも日数がないので、手続きに時間がかかるようなら更に困るのですが・・・^^;

それから、今回の仕事は短期（3ヶ月程度）です。延長はあるかも、程度らしいです。
調べたところ短期雇用でも2ヶ月以上から社会保険に加入する必要があるとのことで、
それは納得しましたが、3ヶ月で、はい仕事が終わりました。となったら、その後はどうするのでしょうか？
その時点で別の仕事がなく、また収入が無くなればすぐに会社の社会保険を解約？して
親の扶養に入り直さなければ保険が使えなくなってしまうのですよね？
仕事が無くなったら会社側の社会保険は勝手に解約されるものでしょうか？
それとも給料が無くとも（派遣会社に登録している間は）保険料だけ何らかの形で徴収されて継続するのでしょうか？
会社によっても違うかも知れませんが、ご存じの方などいらっしゃいましたら是非教えて下さい。
必要なデータがありましたら追記いたします。
どうぞ宜しくお願い致します。