自宅待機に関して

　この場合の自宅待機とは、要するに「会社都合での休業」ということになります。

　まず自宅待機の正当性ですが、これは一種の労働条件の不利益変更になり、客観的で合理的な理由が必要で、原則として労働者個別の同意も必要になります。
　合理性の有無は、労働者が被る不利益の程度、変更の必要性とその内容や程度、代償措置その他関連する他の労働条件、同種事項の一般的状況などを総合判断する事になっています。
　会社の経営状況、他の社員に減給や休業があるのか、その他によって正当性の判断は異なると思われますが、ご質問では地方採用の新入社員だけ自宅待機となっており、暗に退職を望む様子もありますので、異議を申し立てられる要素はあると思います。

　給与6割支給については、労基法上の規定で、休業手当として賃金の60%を支払わなければならない事になっており、労基法上は適法な扱いです。ただ休業の正当性と絡んで労働契約違反として扱われるケースもあるようで、この場合は100%支給が必要とされる判例があるようです。

　退職する場合は　採用条件と実際の労働条件に大きな違いがあった場合、例えば賃金については、それまでの85%未満に低下した場合は会社都合になり得ます。最終的な判断は離職票の記載内容を元にハローワークが行いますので、会社に一筆もらう事にはあまり拘らなくて良いと思います。
　ただ、新入社員ということなので、雇用保険の被保険者期間(最低でも6ヶ月)が足りず、今の段階では失業保険の給付対象にならないと思います。

自宅待機自体の異議ということならば、まず労基署などに相談して見てはいかがでしょうか。
　また就職活動については、会社から休業手当が出ている間は、それをもらいながら行うことが当面は良いのではないかと思います。既卒や第二新卒でも、今回の事情に配慮してくれる会社は必ずあると思います。
　良い会社とご縁があるようにお祈りします。