まずは退職するかどうかです。

ご相談いただきありがとうございます。

・会社から届いた退職届について。

就業規則に則って自然退職（当然退職）ということなので、それに則り送ってきたものと思われます。つまり、ご自身の理由（働けないほどの体調不良）ですので、自己都合退職での離職というのが会社の認識です。

このことに同意するにしてもしないにしても、必ず返送しなければならないものではありません。先ずは、本当に1／31付かつ自己都合退職でいいのかどうかです。

同意するにしても、心配事をすべてクリアにしてから返送する方がいいでしょう。
退職したくないのなら、会社と主張が異なりますので、話し合いで自主解決するか、司法・行政・労働組合いずれか第3者を交えて紛争解決する道を模索することになります。

傷病手当金を受給中とのことですので、そのまま復職できないのであれば、同じ理由での受給期間は1年半後までということがご存じかと思います。傷病手当金の受給と自己負担分の社保料を払いつつ在籍するにしても、期限が決まっているなか、どこでこれを解決するのかお決めいただくことになります。

・失業手当について

傷病手当金を受給しており、そのまま復職できず、就業規則に則り自然退職したということであれば、やむを得ない理由での自己都合退職と解釈するのが通常かと思いますが、これについてはハローワークの専権事項ですので、誰に聞いても、何を見ても、明確な回答は得られない問題です。

管轄ハローワーク担当者との問答次第というより、客観的な証拠をもって、離職の経緯を説明できるかどうかが重要でありつつ、その先どうなるかはハローワーク以外答えられない問題です。

いずれにしても、会社の認識の通り退職するのかどうか、その点をどうするか決めることが出発点となります。一度にすべてを考えないほうが整理はつきやすいと考えます。