統合失調症の息子が遺産相続するとき

ご質問ありがとうございます。
遺産相続に関しては様々な不安やお悩みがあると思いますので、少しでもお役に立てればと思います。
最初に、もし仮に現在質問者様のお父様に後見人をたてておらず、今後たてようかお悩みということであれば、お父様は統合失調症ということですので、法定後見人をたてる必要があると思われます。それによって後見人がお父様の代理人として遺産分割協議書に署名することで、遺産はお父様のものになります。
まず、相続したお金について後見人をたてているお父様のためにしか使えないのかというご質問ですが、そのようなことはありません。
民法の８５９条によると「後見人は、被後見人の財産を管理し、かつ、その財産に関する法律行為について被後見人を代表する。」とあります。
つまり、今回の場合で考えると、後見人は質問者様のお父様に相続される遺産について管理し、お父様に代わって法律行為を行うことはできますが、その財産を直接お父様のためだけに使わなければならないといわけではありません。
また、後見人を立てずに、お父様が他界した場合はどうなるかということですが、お父様が他界するとお母様とその子どもである質問者様に遺産が相続されることになります。ただし、基本的には、相続の開始があったことを知ったときから三ヶ月以内に承認又は放棄の手続きを行う必要があります。
最後にお父様が後見人を立てていない限り、お母様では何も手続きができないのかということに関して、重複する内容もありますがお答えさせていただきます。相続した遺産は基本的にはお父様のものなので、その管理はお父様の後見人が行うことになります。よって、お父様に代わって法律行為を行う権利はお母様ではなく後見人にあると考えられます。しかし、お父様の後見人がお母様との相談の上に法律行為を行うことはできると思いますので、その使い道が直接にお父様のためだけというようにしぼられるわけではありません。
少しでも質問者様の参考になれば幸いです。