まず体調回復優先で考えては

　体調不良だが上司の理解が無く、転職もままならないという八方ふさがりのような状況で、大変お辛いであろうと思います。
　アドバイスになるかわかりませんが、いくつか述べさせて頂きます。

　まず転職についてですが、転職には相応の労力が必要です。心身が疲弊した今の状態で転職を考えるのはあまり適当ではないと思います。また転職活動をするにしても、リスク回避のためには在職のままで行うのが良く、先に退職してしまうのはできれば避けた方が良いと思います。

　そう考えると、まず体調回復が最優先だと思いますので、当面は今の会社の対応をどうやって改善させるかということになります。ご自身がどうしたいのか、例えば休職したいのか、作業時間短縮したいのか、などの考え方にもよります。

　上司が無理解ということですが、通常はメンタルヘルスに問題意識を持つ人は必ずいるはずですので、まず社内で理解してくれそうな人(人事部門、経営者、他部門上司など)に相談し、対応を求めるのが良いと思います。ただ、それが難しいようであれば、社外の専門機関(労基署や労働相談センターなど)を活用することが考えられます。今回の場合、自律神経失調症と過重労働の関係が勤務表などで証明できれば、労災認定される可能性もあると思いますので、労基署などで事情を相談して見ても良いと思います。

　契約社員ということで急な契約打ち切りなどを心配されるかもしれませんが、契約更新を繰り返しているならば、雇止めにあたっては解雇と同様に「特段の理由」が必要とされ、実態によっては雇止めが無効になることがあります。会社都合の雇止めならば、当然失業給付も3ヶ月の制限期間なしで受給できます。休職した場合でも、健康保険の傷病手当金で、労務不能1日につき、標準報酬日額の3分の2の金額が支給されます。

　上記のようなことも考慮し、どうするのがベストなのかを考えると良いように思います。