契約はお互いの意思の合致により成り立ちます。

契約は基本的にお互いの意思の合致により口頭でも書面でも成り立ちます。賃貸借契約に関してもそれは同じです。
　ですので，契約の成立という観点からいえば，当初の内容でオーナーが納得していたのならば契約は成立していたはずです。
　しかし契約書や判子はその意思を書面にあわらすことで証拠として機能しますので，相手方が判子を押していないということになれば，契約の成立を立証することは難しくなります。
　また，どちらか一方または両者が判子を押した後であっても両者の了解があれば，新しく契約が締結されることになんら問題はありません。
　しかし今回の場合は，契約の内容の変更を直接の契約の相手方ではない不動産会社から申し込まれたということと，その変更の内容に依頼者様本人が納得しているのかどうかという点に問題があります。
　オーナーは敷金を礼金に変えてくれるなら契約を結びましょうと言っているととらえられ，これはオーナーからの新たな申し込みとみなされますので，依頼者様がその申し込みを納得すれば新たに契約成立となります。
　ちなみに，不動産会社は仲介会社として両者に対して説明の義務がありますので，今回のように急に契約の内容が変更され，かつその内容が依頼者様にとってのみ不利なものであり，そのうえ引っ越しを間近に控えある程度その契約の変更を受入れざるを得ない状況になってしまっているということから，不動産会社に対して何かしらの責任を追求できる余地はあるかもしれません。
　依頼者様が質問を投稿した日からずいぶんと日が経ってしまっていることから，もしかしたら事態はおさまっているかもしれませんので恐縮ですが，賃貸借契約のトラブルは非常に身近に起こりうるものなので，依頼者様にとって今後のひとつの参考にでもなれば幸いです。