市街化調整区域の宅地に増築または新築

現在居住中であれば、そのご親族が同居する為の
増築も建て替えによる新築も可能だと思います。
敷地内に新たに新築できるかどうかは自治体に
よっても判断が分かれるかもしれません。
役所の建築指導課に相談されるといいと思います。

実際には自治体によって若干異なるようですが、開発許可制度運用指針に従い、細かく規定しています。農家世帯の分家に伴う場合だけだなく、非農家の場合も世帯を分離する合理的な事情があれば認められるようです。宮城県では以下のチェックシートを提供していますので参考にしてください。
http://www.pref.miyagi.jp/et-dbk/kenchiku/kenchiku.files/chouseikuiki_house_H22.pdf

情報が少ないなかで判断しますと、大きくは３つの場合に限られるのではないかと思います。別の条件で適合するかもしれませんのでチェックシートを見てご自分でも判断してください。

１）分家住宅の場合は、開発審査会の議を経て許可を受け、「新築」できる。
２）既存の住宅の「建替え、増築」の場合で、二世帯住宅の場合には、ある一定基準を満たせば、開発審査会の許可なしに「建替え、増築」できる。（開発審査会の許可は不要ですが確認申請はもちろん必要です。）
３）上記の場合で、一般住宅の場合には一定基準を満たしていれば、開発審査会の議を経て許可を受け「建替え、増築」できる。
となっています。

この内容から判断しますと、
１）の場合は敷地分筆等を行い、住宅を新築することになると思います。渡り廊下は一定基準を満たせば認められるのではないかと推測します。この場合、今回の事例が分家に当たるのかどうかも焦点かもしれません。

２）の場合は現況敷地の状態のまま、建替え、または増築することにより、二世帯住宅として建築することになります。渡り廊下でつながるような増築は認められないかもしれません。

３）の場合は同居ないしはそれに近い形（と推測します）で、
a)敷地面積が変わらなければ、面積の範囲内で開発審査会の許可なく、建替え、増築できるようです。
b)敷地面積が増加する場合は、一定基準の範囲で開発審査会の議を経て許可を受け、建替え、増築できるようです。

なお、
私道の幅員が２ｍですので、１ｍ程度セットバックする必要があります。この場合、私道の所有者と道路境界を確定（セットバックの位置確定）する必要があります。
また、２）、３）の増築の場合は、母屋が現在の建築基準法に適合するようにしなければなりませんので改修や補強が必要になる場合があります。新築の場合もその距離や渡り廊下の内容によって、母屋の外壁改修が必要となる場合があると思います。