健康保険と国民健康保険について

ＳＷＥＥＴＹさん、はじめまして。ご質問ありがとうございます。
社会保険労務士の古井佐代子です。

お父さまとＳＷＥＥＴＹさんと別々に説明させていただきます。

お父さま、長年のお勤めご苦労さまでした。
ご理解いただいているとおり、任意継続被保険者に最大2年間なることができます。退職後20日以内に手続きしてください。
現在の給与が高ければ、任意継続した方が、国民健康保険に加入されるより保険料は安いと思われます。
お父さまは退職後、雇用保険（基本手当）を受給されますか？
お父さまは60歳から厚生年金が支給されると思いますが、雇用保険を受給している間、厚生年金は支給停止となります。
この場合、今年のお父さまの収入は6月までの給与・賞与のみとなりますので（雇用保険には所得税はかかりません）、来年は国民健康保険の保険料の方が安いかもしれません。お住まいの市町村役場で国民健康保険の計算式を確認してください。
また、おとうさまは来年確定申告が必要です。

つぎにＳＷＥＥＴＹさんの場合ですが、2年後、おとうさまの任意継続が切れると、ＳＷＥＥＴＹさんは国民健康保険に加入する必要があります。

ただ、ご存知かもしれませんが、現在、パートさんの厚生年金の適用要件について見直しが検討されています。
週20時間以上の方を適用者とする案が有力ですので、ＳＷＥＥＴＹさんの働き方次第では、健康保険に加入することになるかもしれません。
健康保険の保険料は月々のお給料の額で決まります。
国民健康保険の保険料は、前年の年収に対して当年の保険料が決定されます。