希望は伝えて条件を確認し、しばらく様子を見ては

　契約社員などの正社員登用については、これを推進するためにパートタイム労働法で以下のような措置を義務付けています。
1.通常の労働者を募集する場合、その募集内容を既に雇っているパートタイム労働者に周知する。
2.通常の労働者のポストを社内公募する場合、既に雇っているパートタイム労働者にも応募する機会を与える。
3.パートタイム労働者が通常の労働者へ転換するための試験制度を設けるなど、転換制度を導入する。
4.その他通常の労働者への転換を推進するための措置

　この転換に際して、必要以上に厳しい要件を課している場合は、法的義務を履行していると言えない場合がありますが、具体的な決まりは無く、一定の要件を課すこと自体は認められています。

　ですから、よほど理不尽な理由で拒まれ、会社と争ってでも認めさせようということでなければ、当面は会社の言い分を受け入れざるを得ないと思います。
　育児短時間での勤務中とのことなので、会社としても他の社員と同じように安定して就労できる状況までは至っていないと考えるでしょうし、あえて短時間勤務中の者を正社員にすることは、他の社員、契約社員とのバランスを考えてもやりづらいであろうと思います。

　契約社員としてすでに3年間勤務されているとのことなので、もしも会社が雇止めをしようとした時には、正社員の解雇に準ずる理由が必要ですし、契約社員でも短時間勤務を認めて契約更新しているということは、戦力として期待している証拠だと思います。

　ご自身の正社員への転換希望はしっかりと会社に伝えて切替の条件を確認し、しばらく様子を見るのが賢明ではないかと思います。