できる範囲で状況確認を行うべき

　ご質問の内容から感じるのは、まず派遣元と派遣先の間で契約満了以降をどうしていくかが合意できておらず、そこに派遣先の社内事情もあって話が二転三転しているように思われます。
　二重派遣から直接の派遣契約になれば、間に入っている会社はメリットがなくなりますし、嘱託社員にということならば、派遣元も同じく自社の派遣要員を取られてしまうことになります。派遣から正社員に移行する場合、派遣会社の多くは採用する派遣先に紹介料などを要求しますので、このあたりも含めて話が進まないのではないでしょうか。

　契約期間の満了によって派遣先が契約を打ち切るのは違法ではありませんから、今ご自身のやるべき事は、できるだけ早く状況確認をして、自分に振りかかるリスクを最小限にする事だと思います。
　派遣労働で雇用関係があるのは派遣元と派遣労働者で、派遣先との間には業務上の指示命令関係があるだけと考えるのが基本です。ご希望は今の職場を継続する事だと思いますが、最悪を考えれば次の派遣先を探す事も必要です。その中で雇用主である派遣元と話していないという事は、本来あまり良くないと思います。派遣先もはっきり仕事の保証もせずに「何もするな」と言う事自体おかしな話です。

　言いにくい部分はあると思いますが、派遣先には「嘱託は希望するが今の条件を大きく下回るなら受けられない」、「契約されない時は次の派遣先を探さなければならないので、その件で派遣元と相談する」などご自分の意思を話し、派遣元にも「今の状況はどうなっているのか」、「続けられないならば次の派遣先を探して欲しい」など、ご自分の希望を伝えるべきだと思います。最終的に損してしまうのは自分ですから、できる範囲で確認に動くべきだと思います。

　補足ですが新たな派遣先を派遣元に依頼したが、1ヶ月しても見つからない場合は会社都合退職として、3ヶ月の給付制限期間なしで失業給付が受給できます。