株主の整理は難しいでしょうから新会社の設立かも

　まず、株主名簿上の株主のうち、法律上、実際にお金を出資していない者は、株主になりません。そこで、そのような株主には、その旨通知して名簿から抹消し、実際に出資した方の名義にすることが考えられます。しかし、名義上とはいえ株主となっている人に、実質的な株主の人が出資金を貸し付けて会社に払い込んでもらったという場合、名義人が株主になりありえます。そこで、昔のことで事情が不明の場合には、単なる名義人の株主も含めて、株主名簿に記載の人すべてを株主として考えざるをえないと思われます。
　次に、これらの株主の整理をどのようにすればよいかですが、一番簡単な形は、質問者の方が全ての株式を買取ることでしょう。一人一人の住所がわかっているのであれば、手紙等で通知を出して、株式の買取りを打診することが考えられます。「かなり昔の話」であっても手紙で丁寧に説明すれば事情をわかっていただけるかもしれません。
　しかし、相手方の同意が得られなければ買い取れません。値段についても相手との交渉が必要になります。また、株主の方が亡くなっていた場合、相続人を探し出して、相続人と交渉をしなければなりません。相続関係が複雑であれば途方もない手間がかかります。
　そこで、現在の会社について株主を整理することはあきらめて、別の会社を作って、そちらに今の会社の事業を譲渡してしまうということが考えられます。事業譲渡を行えば、現在の会社は、法的には解散しない限り存続し続けることになりますが、実際の営業は複雑な株主を持たない新会社で従来どおり続けることができるようになります。
　なお、この手段をとるためには、株主総会において、事業譲渡を承認する必要がありますが(特別決議で行う必要があります)、その際必要となる株主総会の通知は、名簿上の株主に対して行えばよく、質問者の方が自ら相続人等の調査をする必要がありません。