設計士に経緯を聞くと良いでしょう。

公道に面していない家の建替えの可否ですが、建築基準法第43条で建築
物の敷地は道路に2m以上接していなければならないと規定されていてそ
の道路に該当する物を第42条で規定しています。この道路には公道とい
う物ばかりでは有りません、ご質問の中にある私道と言われる物も有り
ます。道路は色々な種類が有り、又道路が無い場合でも確認申請が処分
される事はよくある事です。（ここで処分と言う言葉を使いましたが、
行政では確認審査が終わり確認済証を発行する事を確認処分と言ってい
ます。）そういう事ですから今回、家が建築できるようになった経緯を
設計士に詳しく説明をして貰う事がまず必要でしょう。建築が出来るた
めには確認申請が必要で有り、「登録されていない道」と説明されてい
るのであれば尚更です。
敷地前面が道路形態をしていても実際は建築基準法に定める道路で無い
事は往々にして有る事ですが、その場合建築主にご協力戴かないと計画
が進められない書類が有ります。その書類はどのようにして作成された
のか？ご両親に聞かれたら如何でしょう。ご質問の内容がご両親からの
伝聞の様ですので詳細が不明だと思いますが、ローンについても銀行と
直接話をされて対策を講ずる事が必要だと思います。司法書士の方が止
められたとの事ですが、司法書士の方はご両親の知り合いの方でしょう
か？もしお知り合いの方でしたらその司法書士に詳しく聞いてみる事も
できると思います。このような回答で少しはお役に立つでしょうか？