会社に辞任の意思を伝え、対策をお願いしましょう

会社と監査役は委任関係であり、監査役はいつでも一方的に辞任することができます(会社法第三百三十条;[総務省法令データ提供システム])。

もしその会社の監査役定員が1名の場合には(つまり、ご質問者の辞任によって監査役の欠員が出る場合には)、会社は株主総会を開き、
　1.後任者を選任する
　2.監査役非設置会社とする
のいずれかの手段を速やかに講じる必要があります。
上記1、2の後にようやく監査役を辞任した旨の登記申請が可能となります。
逆にいいますと、それら手続きが終わらない限りはご指摘のようにあなたに監査役としての責任が発生し続けるということになり(同第三百四十六条)、事実上退任できないということとなります。

まずは会社に辞任の意思を強く伝え、その上で会社の責任で後任を探してもらうのが良いのではないでしょうか。お話の経緯からしまして、ご質問者が後任を探す必要は無いと思います(お父様が、信頼できる人ということでご質問者に依頼されたということでしょうから)。


また、あなたが連帯保証人にでもなっていない限り、監査役というだけで会社の負債そのものを負う必要はありません。ただし、以下のような監査役としての違法・不作為行為があった場合に、訴訟や賠償のリスクが発生する可能性があります。
　1.会社に対して善管注意義務違反があったとき
　　※監査役としての義務に反する明らかに無謀な・違法な行為
　2任務懈怠があったとき
　　※監査をしていない
　3監査報告に虚偽記載があったとき