ご回答

1.上述した父の直葬にかかった費用（35万円ほど）は、父の預金から支払っても問題ないでしょうか？

いいえ。法的には喪主の個人的な支払いとなります。
相続するときは遺産から払うこともありますが、これは事実上相続するが故の処理であり、法的には放棄するならば払えません。

もっとも、知らずに払ってしまったあとに、放棄したいという話になった事例では、相当の葬儀費用を使っただけならば放棄できるという裁判例はあります。
この事例は、放棄すると決めているのに意図して葬儀代を出した事例ではないので、今回の事例で確実に問題ない、この裁判例と同じ処理がされるとは言えません。が、可能性はありますので、リスクはあってもそういう処理をすることは検討できます。

2. UR賃貸に1人で住んでいたので、部屋を片付けなくてはならないのですが、どの程度なら問題ないのかわかりません。

理屈上は掃除以上の部屋の物の処理自体が、相続放棄において問題になることはあります。

3. 光熱費、家賃をコンビニで支払っていたようなのですが、そちらも相続放棄する場合、支払ってはいけないのでしょうか？

一応すべてやめておいて相続放棄したとの連絡で済ませるほうが良いでしょう。

4. 病院で亡くなったのですが、まだ入院費の精算ができておらず、こちらは父の預金から支払っても大丈夫なのでしょうか？問題あるようでしたら、私のお金から支払えばいいのでしょうか？

ご自身のお金からの支払いは問題ありません。


以上は厳密に法的にいえば、ですので、現実には柔軟に処理されることはあります。
ただ、法的に公開での回答である以上、上記のような回答にならざるをえません。