まだまだ1歳！

私も歴代飼った（飼っている）犬たちはすべて里親として飼い始めたのでトイレなどの大変さ、良く分かります(^_^;)
特に成犬のコを引き取った場合、何より根気が必要です。
でも、根気良く教えれば必ず覚えてくれますので、焦らないで教えてあげましょう。

まずケージで過ごさせる時間については、「多ければ良い」というものではないので、とにかく''“鳴いている時に出さない”''というルールを徹底して、その上で監督できるときは出して、監督できない時（トイレに行く、お風呂に入るなど）は入れるようにすれば大丈夫です。

次にクンクン鳴くことについては、鳴いてるときは無視をして、鳴きが止んで完全に諦めた状態になったら出してあげるようにしてください。
つまり、「鳴いたら出られない／諦めたら出られる」と教えれば良いんです。

トイレは、一般的な形でケージにトイレを置く状態でいいと思います。もしスペース的に余裕があれば、広めのサークルにクレートを置いても良いでしょう。
そして、ケージ（もしくはサークル）外で''失敗をさせないこと''です。
きっと前の家では好きなように部屋でしていたようなので、ケージ＝寝床と感じていて、寝床を汚したくないという意識が強く、ケージ外でしたくて仕方ないのでしょう。
これは根気が勝負なので、ケージのトイレでするまで粘ってください。

しつけのし直しは根気が必要で大変ですが、諦めずにがんばってください！(^-^)/