人を呼ぶのが苦手なら自分から出向いてみては？

社宅が古くて人を呼べない。という気持ちよくわかります。
私は、会社経営をしながら子育てをしていましたので、子供は保育園に預けておりました。
ママ友との交流はほとんどありませんでした。
でも、子供はお友達と幼稚園や小学生になったときは、家でお友達と遊びたがったので、お友達のお宅に遊びにいかせていました。
また、時には時間があるときは、お宅に送りに行った、迎えに行ったりとしていました。

でも、ママ友と親がお友達になることはありませんでしたし、現在娘は中学生ですが、今もこの先もないと思います。

なぜか？totororisaさんがおっしゃるように、ラフな学生のときみたいな友達にはなれないからです。
ｱﾗﾌｫｰだから無理なのではなくて、そもそもが自分の友達ではなくて、子供の友達のママですよね。
子供は、日々成長していきますから、この前まで仲良しだったのに、今は違う子と仲良くする。ということが日々起きえるわけです。

その都度親もそれに合わせてママ友を変えるわけにもいきませんし、
ママ友とは真の友達のように、本音で悩みを打ち明けたりはできませんね。

親の口から、子供に伝わってしまいますから。噂に広がります。

ですから、学生の時のお友達や趣味の場で出会ったお友達、職場で出会った（パート先など？）で気が合う方がいたら、無理せずにだんだんとお友達になっていけたらよいのではないでしょうか？

いつか子供は成長して自分の手元から離れます。

その時に、やはりご自身のお友達がいたら楽しいし、何かと心強いかもしれませんね。
無理なく負担がないようにコミュニケーションをとってみてください。

頑張ってください。