大雑把にご説明しますと

◆雇用保険は雇用保険法の定めで、産休は労働基準法上の定め・育児休暇（正しくは育児休業と思いますが）は育児介護休業法の定めとそれぞれ別の定めでして、雇用保険を付けていれば産休・育児休暇を取れるかどうかといわれれば、それぞれ関係ない事柄ですということになります。
◆詳細な雇用保険の受給要件は別にして、H22.4.1以降当分の間はそのようになります。
◆育児休業期間のうち、産前産後休業（労働基準法の定め）中は支給されません。なお、前提として雇用保険の被保険者になっていることと、育児休業（その前に産前休業に入るでしょうから産前休業）開始までに受給要件を満たしている必要がありますが。
◆産前産後は労働基準法で母性保護のため働かせてはならないと定められており、当然取れます。育児休業は“パートで”の意味するところが具体的に判明しませんが育児介護休業法の例外に該当すれば取れないこともあり得ますので、勤め先へご確認ください。
◆あなたの言われる収入金額でしたら、問題ないと思われますが。
◆住民税は昨年の所得に対して課税されるので、今年の収入がなくとも納付しなければならない場合があります。所得税は今年の所得がなければ課されません。年金保険料などは第3号被保険者であれば発生しません。
　出産・育児・育児休業という連続する出来事についてご質問頂きましたが、係わっている法律は、労働基準法・雇用保険法・育児介護休業法と多岐にわたりますので、概略の説明となりました。