公正証書による遺言書について

母親の財産について、子である私に全て残す、との内容の公正証書の作成を考えております。実際には、公証人役場へ相談に行こうと思いますが、その母親の財産の内容につきお教えください。（家族構成は父、母、私の３人のみです）

母親の財産には不動産はなく、預貯金と郵便局の簡易保険（疾病の際に保険金が下りかつ死亡時も若干の保険金が下りるもの）のみです。この簡易保険につきまして、

・母親が契約者となって父親が被保険者となり、保険金受け取りは母親であるもの、
・母親が契約者かつ被保険者であり、受取人も母親であるもの、

の２種類があります。上記２つのいづれも現在も月々の保険料を支払っております。

この場合、受取人が母親であるものを全て私に変更する、という内容の公正証書が必要でしょうか？または、公正証書には記載せず、母親が存命のうちに、受取人を私に変更しておくほうが良いのでしょうか？受取人を私にする場合は、贈与税の対象になってしまうのでしょうか？また、受取人だけではなく契約者も私に変更するべきでしょうか？

ややこしい話で恐縮でございますが、ご教授頂ければ幸いでございます。宜しく御願い申し上げます。