相手の方の真意はどういうものなのでしょう？

せっかくの新居なのにご入居前にこうしたトラブル。大変な思いをされていますね。

文面からの推測の範囲ということでご了承ください。

ここまで言ってくる私道の所有者ということは、この私道に面して住んでいらっしゃる方なのでしょうか。質問者の方がそこから出入りすると、自分の通行に支障があると思っていらっしゃるのでしょうか。
それとも、離れたところに住んでいる方だが、自分に挨拶もなしに自分の土地を通行されたくないと思っていらっしゃるのでしょうか。


文面通りにその私道が「位置指定道路」になっているのであれば、あくまでも道路ですから通行を制限するような権限は所有者の方にもありません。
道路扱いになっているかどうかは、行政の道路課や確認申請の窓口で確認できます。
建築確認済証の添付図面（配置図）にも記載がありますが。
一度行政で相談してみてはどうでしょうか。

一斉に家が建つ分譲地などとちがい、既存の住民がいるところへ移っていく際には、元々住んでいる人たちにも「どんな人が引っ越してくるのだろう？」「自分たちと仲良くやってくれるだろうか？」という心配があるようです。
この道路を使って生活している近隣の住民に、所有者の方のことを聞いてみるのも解決のための手がかりになるかもしれません。


心理的なしこりが残らないような解決が出来ることをお祈りします。