反省、改善の見込みはあるのでしょうか？

はじめまして、社労士の小島です。

本ケースは、同僚の話ということでよろしいですか？
あなたの部下の話でしょうか？
前提が変わると、回答も変わるのですが、一般的な回答をしておきます。

ご質問のような職員は、成績不良、または勤務不良社員と呼ばれ、どこの職場でも
その扱いに困っています。辞めさせるのは簡単ですが、本当に改善の見込みがないのか
検討してみてください。また、御社にも採用したという責任がありますので、責任をもって指導する義務もあります。面接時に、何か光るものはなかったですか？

ヒトはその長所を活かすのが良いとされていますので、その人の得意とすることを
活かす方策を探って下さい？例）人相手は難しいが、PCは得意など。

企業はいろんな人の集まりですので、その個性をいかに活かすのかが、重要です。
まずは、本当に活かす道がないか、探って下さい。
それでもどうしようもなく、ダメ、ということであれば、
１文書で指導、始末書を書かせる（強制はできないので、イヤといわれたら顛末書を出させる）
２同様のミスを繰り返したら、次は減給する。
３減給してもミスを繰り返したら退職を勧奨する
４それでも応じなければ「解雇」する
という段取りでお願いします。いきなり解雇すると、指導をしていない、ということで
解雇が無効となります。後は、裁判例では「著しく」能力が劣る場合、成績不良の場合にしか解雇を認めていないので、そこを証明できるよう、指導ノートなどもつけておくと
よいでしょう。

以上回答いたします。