ユニットリンクは・・・

担当者がいないとなかなか扱いに困る保険です。
加入されたのはアクサフィナンシャル生命の名古屋支社でしょうか。
この会社は今はもうアクサ生命に買収されて、当時の営業担当者も多く退職したと聞いています。
確かにおっしゃる通り、特別条件の付いた保険契約は払い済みにはできません。

ですが気になることが1点ございます。
加入されたとき当時のあなたの健康状態が、標準体といわれる保険会社の基準条件に
満たない場合に、その保険契約には特別条件がつき、保険料の割り増しか、
対象とされるからだから発症する病気の治療費やそれによる死亡保険金の給付がされない
形になります。この状態でお客様が契約を承諾したという証明として、
特別条件承諾書を営業担当者を経由してかわして初めて契約が成立いたします。

この書類を交わした記憶がもしもないという場合には、
保険会社のカスタマーセンターに連絡して、
その旨を話したうえで、その時の特別条件承諾書の筆跡を確認したいと申し出てみてはどうでしょうか。
事と次第によっては、つまりは保険会社側の人間の代筆だということが証明されれば、
加入時期に遡ってお支払いになられた保険料が戻ってくる可能性もあります。

まずは疑問点を相手にぶつけて相談してみてはどうでしょうか?
昨今の金融庁の厳しい金融商品販売に関する法律とその監査の関係で、
保険会社も無下にすることはないと思います。
カスタマーセンターは下記です。
旧アクサフィナンシャル生命・・・0120-911-999
アクサ生命・・・0120-568-093