親の介護で姉妹での不和

実際にどちらが、現場に行って介護すべきという法的な義務はありません。

経済的には、以下の規定があります。

民法 第877条
『直系血族及び兄弟姉妹は、互いに扶養する義務がある。家庭裁判所は、特別の事情があるときは、前項に規定する場合のほか、３親等内の親族間においても扶養の義務を負わせることができる』

家庭裁判所に調停を起こしてみることは検討できます。実態としての面倒をみるには経済的な側面も含まれるでしょうので、その点も伝えて家庭裁判所に調停を求めることは検討できます。

はじめまして

高齢者の男性において、他人のお世話になりたくないと地域包括支援センターなどのサポートを断るケースは多々あるようです。

お父様は独居されてるようですが食事や掃除・洗濯など自立されておられますでしょうか？
病院へ行かれているということで、「介護認定申請」を先ずはされては如何でしょう。

要支援でも受けられるサービスはありますし、お父様ご自身で出来る事と出来ない事を書き出して、出来ない事は外部サービスを利用することでご家族の介護を軽減することが出来ます。
移動においても介護タクシーなどが利用できるので通院時に便利だと思います。

地域包括支援センター以外にも地域には「社会福祉協議会」（通称：社協）があり、ボランティア的なサポートがあったり、チケットを購入して掃除やゴミ捨て、庭の剪定などのサポートを受けられたりします。
こちらの方がハードルが低く、お父様には利用しやすいかもしれませんね。

簡単ですがご参考になれば幸いです。