適正な社会保険の加入日について

下記の条件等で派遣社員として勤務した場合、適正な社会保険の加入日がいつなのか教えてください。
・派遣契約内容は、週5日・週35時間の事務職。
・初回の派遣契約期間は、2か月（更新の可能性あり）と契約書に記載。
・勤務開始からおよそ1週間後に、派遣元から電話で次回契約更新依頼をいただき、次回の派遣期間は3か月で契約合意。
・更新分の契約書は、その電話からおよそ１０日程度後に郵送で届いた。
備考：上記更新分の契約書と共に、雇用保険被加入者証が届き、その加入日は勤務開始日だった。
この様な条件等の場合、適正な社会保険の加入日はいつでしょうか？
補足：
・今回の派遣元で働くのはこの契約が初めて。
・派遣元の社会保険担当者に確認したところ、「初回契約は2か月間なので、加入条件に該当しない。社会保険の加入日は、更新分の契約初日になり、その事に間違いはない」との回答。
・私がこれまで契約していた別の派遣元数か所では、（いずれも勤務条件等の契約内容は今回と同時間程度のもの）勤務開始日が社会保険と雇用保険の加入日だったため、今回も同様の認識でいた。
※仮に、初回契約期間が2か月間だから（契約期間が2か月を越していないから）、加入日は契約更新分の初日になるとの説明が正しいとしても、派遣元とは、勤務開始のおよそ１週間後に次回契約更新・3か月との取り交しをしているので、少なくともその時点から社会保険に加入させる義務が生じているのではないかと考えますが、専門的な扱いではどうなるのかを教えて下さい。