フランスに拠点、日本は海外支店という形が考えられます

Leri様、こんにちは。

いくつかの質問に分けられると思いますので、それぞれ整理して回答します。

１．開業届の手続きについて。
現在のLeri様の状況では事業の拠点となる国・地域にのみ開業を届け出れば十分と考えられます。
今回の場合、事業の拠点はフランスとなりますので、Leri様がフランスで開業届を提出し、日本側は支店として事業所の登記のみを行い、日本支店の代表者は日本にいる家族とします。
この場合、日本での開業届は不要で、事業所（支店）の登記のみとなります。
なお、日本以外の国での開業につきましては、その国の開業の法規等があり、またその国の国民と日本人（外国人）とは開業の資格や手続き等が異なる可能性があることもご注意ください。

JETROのサイトにも、参考情報が掲載されておりましたので、ご紹介いたします。
（日本での拠点設立方法 - 対日投資情報 - ジェトロ）
https://www.jetro.go.jp/invest/setting_up/

２．家族の確定申告および法人税等について。
上記のように、フランスに拠点（本社）、日本に支店を設置するという前提ですが、日本におられるLeri様のご家族の方はフランスにある本社の従業員となります（支店は固有の法人格を持たず、本国（フランス）にある法人格の一部分となるため）。
確定申告、あるいは源泉徴収および年末調整は、ご家族分は日本で行う形となります。
これに付随する話となりますが、日本支店での所得に対する法人税等も発生しますのでご注意ください。

３．特定商取引に関する法律に基づく表記について。
特定商取引に関する法律施行規則（昭和五十一年十一月二十四日通商産業省令第八十九号）の第八条第二号にて、同法律で求められる代表者は、企業の代表取締役とは限らず、ネットショップ事業を行う業務の責任者でもよいとされております。

以下は消費者庁のページですが、下から2番目の
「事業者が法人であって、電子情報処理組織を使用する方法により広告をする場合には、当該販売業者等の代表者または通信販売に関する業務の責任者の氏名」に記載があります。
（通信販売広告について|消費生活安心ガイド）
http://www.no-trouble.go.jp/search/what/P0204004.html

念のために、決済代行会社にも日本での業務責任者として家族の名前を表記することに了解を得ておいていただくと良いと思います。

最後になりましたが、Leri様がますますご活躍できますようお祈り申し上げます。