根気が必要です。

きっととても臆病なコなんでしょうね。
このような問題を改善するためには、とにかく根気良く時間をかけることが何より重要になります。

私のお客様でも同じようなケースがあり、そのコは抱っこができず首輪の着け外しもできませんでした。
ですが、飼い主さんが根気良くちょっとずつご褒美を使いながら慣れさせて、結果1年たった現在抱っこも首輪の着け外しもできるようになりました。
ただ、いまだにちょっと怖い思いをすると噛み付こうとすることがあるので、まだ完全な解決には至っていなので、継続して飼い主さんは日々練習をしています。

この問題に関してここだけで詳しくアドバイスすることはできませんので、簡単なアドバイスをすると、まずはウエットタオルで拭くことに慣れさせてください。
本来はウエットタオルを見せるだけでおやつを与えますが、それだと拭くことができず困ると思うので、ガムなど噛むのに時間がかかる物を与えながら拭いてください。
そしてその際は、''必ず褒めながら拭いてください。''
決して怒らないでください。

最後に「保健所に連れて行こうかと考えてしまいます」とありましたが、保健所には連れて行かないでください。
保健所は本当に悲惨なところです・・・。本当に悲惨な処分のされ方をします・・・。
最後の飼い主さんの責任は、自分の手で愛犬の最期を看取ることだと私は思いますので、もしどうしても飼いきれない状態になってしまったら、ちょっと厳しい言葉になってしまうかもしれませんがご自身で獣医さんに連れて行って安楽死をさせてください。

もちろん、そんなことにならないようにがんばれば必ず改善の光は見えてくるはずですので、もし今のトレーナーさんではあまり改善しないようなら、問題行動に経験豊富なインストラクターさんを探して下さい。