以下、回答いたします。

(1)本来は就業規則に育児短時間勤務制度が規定されているならば、申出に沿って制度を利用させなければなりませんから、社外機関に相談して、制度を利用できるように会社を指導してもらうといった事はできますが、ご自身が納得して退職されるということですから、これに対して行政機関から何か言ってくることはありません。
　自分の意思で辞めたならば自己都合退職となりますから、失業給付には3ヶ月間の給付制限がかかることになります。

(2)復職予定が無いのに育児休業基本給付金を不正に受給したならば、返還を求められる事があるかもしれませんが、通常は復職出来なかったとしても返還の必要は無いと考えてよいです。

(3)失業給付の受給期間は、離職した日の翌日から原則1年間ですので、手続きが遅れると所定の給付日数分の給付が受けられなりますから、早く手続きすることをお勧めします。
　公共職業訓練を受講するには、訓練開始日において給付日数に所定の残日数があることが必要です。当然働く意思があることが条件になります。
　受講のために待期している期間(90日を限度)などは、訓練延長給付といって基本手当の受給が延長されます。定員等で希望のコースが受けられないこともあるようですので、詳しくはハローワークで確認して下さい。

(4)失業認定の要件は働く意思があって、所定の求職活動をしていることです。パート希望でも働く意思があると認められますから、失業給付の対象になります。ここで言う求職活動とは、単に求人広告を見たり、ネットで求人検索するだけでは求職活動としては認められませんので注意して下さい。

(5)出産、育児、疾病等で、すぐに求職活動ができない場合には、「受給期間延長手続」といって、ハローワークで所定の手続を行うことで、基本手当の受給開始を後日にずらすことができ、受給期間は最大4年間となります。