まず勤怠不良での懲戒による減給処分という観点ならば、基本的には就業規則の規定に基づき、情状に応じて手順を踏んで対応していくことになります。
　今まで正式には何も処分をしていないのに、いきなり減給というのは難しいかと思います。
　減給の取り扱いについては、労基法の制限もありますし、就業規則上に根拠を必要としますので、就業規則にも必ず規定するようにしてください。

　次に給与から不就労分を控除するという考え方ならば、例えば月給制の場合、1か月の労働時間に関係なく、遅刻、欠勤等の不就労分の賃金も一切控除しないで1か月分全額を支払う「完全月給制」と、遅刻や欠勤等の不就労部の賃金を控除して支払う「日給月給制」とがあります。
　不就労分の控除には日給月給制が前提になりますが、ノーワーク・ノーペイの原則で労働者の労務提供がない場合は賃金を支払う義務はありませんし、労働者が賃金を請求する権利もありません。
　「配達料とその他行った業務の分だけ支払う」とのことですが、実労働時間などで不就労に相当する分を明確にする必要はあると思います。本人がタイムレコーダーでの記録を拒んでいて労働時間の把握が難しいならば、会社側で一方的に記録した労働時間であっても有効性があると思います。

　最後にご質問の趣旨とは違いますが、新聞配達ならば自転車なりバイクなりの車両を運転するのではないでしょうか。だとすれば仕事前の飲酒は事故につながる危険が高く、何かあった場合は事業主にも責任の及ぶ可能性が高いと思いますので、場合によっては出勤停止などの措置も必要ではないかと思います。タイムカードを押さないなどの行為も一般的には服務規律違反となるはずです。
　このような勤怠不良者への対応は、就業規則に基づいて行うのが基本ですので、規定に則った毅然とした対応が必要だと思います。もし規定が無いならば早急に作成しておくことがよろしいかと思います。