私の以前の対応経験からアドバイス致します。

　ご質問のような社員がいる場合、会社からすれば生産性が落ちて業績に悪影響を与える訳ですから、本来は会社側が何とかしなければと考えるはずです

　そもそも社員である以上は服務規律に則って労務提供する義務があり、病気などで正常な勤務が困難ならば会社としては休職を命じる事になります。無断欠勤などは、いくら病気に起因するとしても原則許されるものではなく、懲戒事由にあたるはずです。休職基準や休職期間は就業規則に定められているはずで、もし休職期間を満了しても復職できないのなら一般的には解雇ということになります。ただし画一的にそうする訳ではなく、一定の配慮をする事もあるはずです。

　もちろん病気治療、復帰へのリハビリのために短時間勤務を認めるなどの支援は行い、場合によっては作業負荷の少ない部門への異動などの対応をします。人事部門ではその人の健康状態と業務遂行上の問題に対してバランスよく対処する必要がありますので、本人と所属部門長などそれぞれの言い分、勤務状況や業務上の影響などを考慮して対応します。

　”「病気」と自己申告している社員が法律などで守られている”と書かれていますが、決してそういう事ばかりでは無く、このケースでは、会社が本来規則に定められているはずの措置を取らずに放置している事が問題なのだと思います。

　まず会社に、今の状況がきちんと伝わっているかを確認する必要があると思います。きちんと報告されておらずに深刻に捉えられていないケースが案外あります。
　もし伝わっていなかったり、知っていても深刻に捉えられていないような場合は、更に伝える努力が必要と思います。自分一人よりは関係者複数で、伝える相手も上席上司、役員、人事部門など関係部署に出来るだけ広く。
　始めに述べた通り、会社の業績には悪影響ですから、深刻さが伝わっていれば普通は何か対応するはずです。