こんにちは、スノウ２２５０さん。
消費者考動研究所　消費生活アドバイザーの池見です。

>「今は、何となく会話が止まったり、相手が黙りこんでしまったりと上手くいきません。」

私も同じような経験がありますので、その場面での不安なお気持ちは十分お察しいたします。
辛いですよね。

ビジネス応対の会話中に相手がこのような状態になってしまう原因として、お客様側視点で次の事が考えられます。

１　どうも受け答えが的を得ない。(何だか不安だな。ちゃんと理解しながら聞いてくれているのかな)
２　まだ全部話していないのに、途中で言葉を遮られてしまう。(ちゃんと最後まで聞いて!)
３　受け身・消極的な気持ちが見え隠れする。(たとえ伝言取次の仕事でも、前向きな気持ちで受けてくれたらいいな…)

電話の応対は、顔が見えない分余計に、相手がこちらに何をして欲しいのかを的確につかむ必要があります。その為には、相手の言葉一つ一つに全神経を「笑顔で」集中させ、頭をフル回転しながら聴く「傾聴」が有効です。
もし原因が１ならば、相づちを短くはっきりした「はい」にすると、相手に好印象を与え、自分自身も気が引き締まります。相手の伝言が終わったら、しっかりと復唱確認しましょう。

原因が２の場合は、逆に頑張るあまりに話しすぎている可能性があります。相づちやクッション言葉の回数を減らしたりしながら、本当に必要な所できちんと復唱確認すると改善できます。

そして、３の場合も含めての事ですが、電話のベルが鳴ったら、心の中で「世の中に沢山の会社がある中で、当社に掛けてくださってありがとうござます！」とつぶやきましょう。
相づちやクッション言葉にも、心をこめた「ありがとうございます」を意識的に取り入れてみてください。感謝されながら黙り込んでしまう人は少ないと思います。

また、ご自身が応対なさっている声を録音して再生した応対をチェックすると、自分でも気付かない改善のヒントが見つかります。(相手の声は録音しないでもOKです)
ただ、録音は会社や部署によってNGの場合も多いので、上司の方にスキルアップのためとしてご相談されてみてはいかがでしょうか。

基本的な応対の文言・テクニックについては、他の専門家の方々が明快に回答なさっているので省略させていただきますが、机の見やすい所に常置して、確認しながら応対するのも安心ですね！