法令をよく理解し、適切な申告をしましょう。

個人で英会話教室を開く場合の確定申告についての質問ですね。

個人で教室を開いて生徒さんからは手渡しで月謝をもらう場合でも、所得に対する税金を納めなければなりませんので、確定申告は必要です。
但し、収入から費用を引いた所得の金額が少額の場合や、給与所得がある人で他の所得の合計が20万円以下の場合などは、確定申告は不要です。

確定申告の必要が有るのに確定申告をしないと、脱税となり、延滞金や重加算税を徴収されますので注意が必要です。
詳細は、以下のサイトをご確認ください。
https://www.nta.go.jp/tetsuzuki/shinkoku/shotoku/qa/02.htm

開業届けを提出しなくともきちんと確定申告をしていれば、大きな問題になることはないでしょう。しかし、今後事業を拡大し、永続的に利益を生み出していくことが見込まれるのでしたら、開業届けを提出し、さらに青色申告を行うことによってそのメリットを享受することも視野に入れておかれてはいかがでしょうか。
但し、白色申告に比べ記帳が複雑になり、帳簿作成の知識や手間も必要です。

青色申告にはさまざまな税金の優遇制度がありますが、その一つに、青色事業専従者給与の特例があります。事業主が生計を一にしている配偶者や親族に支払う給料は、原則として経費として認められません。しかし、一定の条件を満たしていれば、ご主人に給料を支払い、その金額のうち労務の対価として適正な金額を必要経費に算入することができます。
白色申告の場合でも、86万円までの控除が可能な事業専従者控除の特例があります。
詳細につきましては、以下のサイトをご参照いただくか、税務署の相談窓口や税理士にご確認されることをお勧めいたします。
http://j-net21.smrj.go.jp/well/zeikin/001/20100302_01.html
https://www.nta.go.jp/taxanswer/shotoku/2075.htm

ご成功を心よりお祈りいたします。