父の相続破棄と祖母の相続について

Toolboxの森といいます。
専門家ではないのですが。。。

○父名義で加入しろと言われた母自身の保険ですが、これを名義変更(口座変更)すると相続したと言われてしまうのでしょうか？
これは大丈夫だと思います。保険を続けることは可能だと思います。

○11月の末に亡くなったのですが、父が存命の時の年金が入っておりません。
これは再度年金事務所に確認をとってみてください。大丈夫だと思いますが。

○葬儀費用は私が立て替えたのですが、生前働いていた父の給料から費用を出したとして、入る予定の父の給料から出費にはなりませんか？
あなたの通帳にその費用の出勤記録があれば問題ありませんが、一般的に葬式代を故人が
だしたということにはなりません。

お祖母様の介護の面倒を見る事は実質不可能ですので、まずは市役所に相談しに行ってください。必要であれば「生活が苦しくなりそうなので、参考に生活保護制度などを聞きたい」
と直接「生活保護」の窓口に相談してください。

生活困窮者自立支援法が始まって以降、「生活が苦しい」などと訴えて役所に行くと、生活保護の窓口ではなく「生活困窮者自立支援法」の窓口に回されるという「水際作戦」に遭う懸念もあります。はっきりと生活保護を受けたいと言ってください。
決して恥ずかしいことではありません。
その時にお祖母様のことも伝えてください。

生活保護を受けて、生活を立て直し、そこから改めて自立の道を探ってください。