犬は自分の寝床を汚したくない傾向があるので、
ゲージの外のトイレシートにしたがるのかも
しれませんね。
最初の頃、ゲージ内のトイレにしていたのは、
慣れない環境で仕方なく、だったのかもしれません。

朝鳴いた時ゲージから出してあげて、外のトイレシートに
排泄した後は大人しくなるのでしょうか？
大人しくなるようでしたら、ただ「外のトイレシートで
オシッコをしたい」と鳴いているだけなので、
無視をしても効果は期待出来ないと思います。

無視をして効果が期待出来るのは、「ゲージから出してほしい」
「遊びたい」「そろそろ餌の時間だよ」のような、
「今」じゃなくても良いような事を要求して鳴いている時であれば
効果を期待できます。

まだ生後2ヶ月なので、オシッコの回数も多いですし、
我慢することは難しいと思います。
これは「今」でなければいけないので、無視をしても
鳴き止ませることは難しいと思います。
成長するにしたがってオシッコを我慢できる時間は増えますが、
あと数か月は朝4時起きになりそうです。

もしくは、ゲージでも中でセパレートになっているもの
(寝る場所とトイレの場所で分かれているもの)であれば、
寝床とトイレを別の場所と捉えれば、自分でトイレに行って
排泄するようになるかもしれません。
または、もう一つ別のゲージを使う方法としては、
今のゲージの入口にもう一つのゲージの入口を付けて
トイレ部屋を増設するような形にして、
寝床とトイレを分ける方法もあります。

上記の方法は絶対に上手くいくというものではありませんが、
チャレンジしてみる価値はあると思います。