当事者それぞれに何らかの責任があります。

　第一儀的には、上階の住人です。
　
　通常マンションなどに住む人は、賃貸であれ、所有であれ、この様に他人に損害を与えた場合は、その損失を補填し、損害責任とるため「賠償保険」に加入します。最近は、火災保険とセットになっています。

　特に、賃貸の場合は、この様なトラブルを解決するため、オーナーと入居者が賃貸借契約時に「保険加入」を取り決め、何れかが保険料を負担するか決めています。
　広さにもよりますが、２年間で１～２万円です。
　もし、これらの保険加入がされていない場合は、上階入居者に過失責任と負担を求めます。入居者が契約時にこれらの取り決めがないとかオーナーが水漏れなどの恐れに対する取扱などを説明していなければ、入居者とオーナーで解決すべき課題です。

　通常の取扱で溢れ漏れするなど、配水管の詰まりなどは、管理者（オーナー＆管理組合など）の十分な管理（配水管清掃など）がされていない事も起因すると思います。構造上の問題もあるかも知れません。配水管は、「共用部分」に属し、マンション全体で清掃、維持管理する義務があります。
通常は区分所有の場合「管理組合」の責任。

　管理会社は、管理者（オーナー又は管理組合）より配水管清掃等は、委託により業務を行っており、配水管の詰まりやすい状況や溢れかえる状況を作り出す使用法の制限などを入居者に通知責任はあると思います。

　具体的に、どの様な使用方法で、どこが詰まっていたのか、どこからどれほど漏れたのか、構造上問題がなかったのかなど、検証する必要があります。