ｎｅ様　はじめまして。
社会保険労務士の平松　徹と申します。ご質問の件回答させて頂きます。

失業保険（雇用保険の基本手当で失業給付金とも言います）は働きたいと思って仕事を探しているけれど、まだ働くところが見つかっていないという人が受給できる手当です。

＞開業届をだしていると失業保険はもらえない？？

開業届を提出するということは個人事業主になるということです。個人事業主は法人を設立せずに自ら事業を行っている人という意味を持ちます。自ら事業を行っているという状態（働きたいと思って仕事を探しているという状況には当たらないと判断されます）ですので週に１日で収入が見込めない状況であっても失業保険を受け取ることはできません。

＞この場合、いずれ派遣社員の更新ができなくなった時に失業保険をもらうためには・・・？？

自らの家の敷地で店を出す（お客さんの出入りがあると仮定します）ということは、週１日で収入が見込めない状況でも個人事業主といって差し支えないと客観的に判断されてしまう可能性が高いです。個人事業主と判断されてしまいますと上にも書きましたが失業保険を受給するのは難しいのではないかと考えます。　　　　　
詳しくは最寄りのハローワークに相談されることをお勧めいたします。

＞開業届を出さないことでなにか、問題・不都合は？？

基本的には、個人事業主として開業した場合１ヶ月以内に開業届を提出することがルールとなっています。
開業届を出さないことで明確な問題・不都合というのは基本的に存在しませんが、ルールなので開業届は出すことをお勧めいたします。
また、もし開業届を提出しなかった場合でも納税の申告は忘れずにするようにしてください。納税をせずに後で発覚した場合などには、追徴金などが大きな負担となってしまいます。ご注意下さい。

以上となります。ご参考になれば幸いです。
なにかわからないことがありましたらお気軽にお尋ね下さい。
　　　　　　　　　　　　　　
社会保険労務士　平松　徹　http://www.iso-hiramatsu.jp/