へのん様　はじめまして
FP税理士の柴田博壽と申します。
ご質問にお答えします。
（１）まず、最初に自分自身の税金を考える必要があります。
つまり、1月から12月までの１年間の収入金額から、所得税や住民税について考えてみます。
【所得税の計算】
給与収入・・・1,300,000円（の場合）
給与所得控除　
　給与収入 × 40％　と　650,000円のうち、多い金額
給与所得　
　給与収入 － 給与所得控除＝
　　　 1,300,000－650,000＝650000
課税所得金額
　給与所得 ― 基礎控除 － 勤労学生控除 － 社会保険料控除（国民年金等）＝
650,000円－380,000円－270,000円－（？）円 ＝ 0円
課税所得金額は0円ですから、所得税は0円です。
但し、住民税の課税所得計算上の基礎控除と勤労学生控除がそれぞれ、330,000円、260,000円と少し異なっています。
したがって、給与収入が1,300,000円であっても次の計算によって、住民税11,500の納税が必要となります。
【住民税の計算】
課税所得金額
　給与所得 ― 基礎控除 － 勤労学生控除 － 社会保険料控除（国民年金等）＝
650,000円 － 330,000円 － 260,000円 － （？）円　 ＝ 60,000円
（ ※二十歳を過ぎたら収入の有無に関わらず、国民年金を納付するよう通知されます。）
税額計算
１） 均等割額　5,500円（福岡県の場合、県民税2,000円、市町村民税2,500円）
２） 所得割額　60,000　×　10％　＝　6,000円
　　住民税の合計　　１）＋２）　＝　11,500円

（２）次にもし、親御さんの税法上の控除対象親族となっている（親御さんがへのんさんの「扶養控除」を受けている）場合についての検討が必要です。
　へのんさんがその年の1月から12月までの1年間に給与収入が103万円以内であれば、何ら問題はありません。しかし、103万円を超えた場合、親御さんは税法上の「扶養控除」を受けることはできません。そのときは親御さんが確定申告を行って、これを是正する必要があります。
　22歳以下の人の扶養控除の額は所得税で63万円（住民税45万円）です。これは、課税対象の所得金額から控除される金額ですが、税額は、一律ではありませんので、ご留意が必要です。
つまり納税する人の収入金額（厳密には課税所得金額）の多少によって影響する税額がまるで違うのです。
それは、課税される金額によって適用される税率が違うからです。
具体的には、以下のように適用される税率によって、影響する税額がそれぞれ異なります。
そのことを知っておけば、ある程度、安心することができるかと思います。
適用される税率　　　 　　影響する税額 　 合計税額
５％（住民税10％）　　　31,500円（住民税45,000円）　 76,500円
10％（住民税10％）　　　63,000円（住民税45,000円）　108,000円　
20％（住民税10％）　　 126,000円（住民税45,000円）　171,000円　
23％（住民税10％）　　 144,900円（住民税45,000円）　189,900円
33％（住民税10％）　　 207,900円（住民税45,000円）　252,900円
40％（住民税10％）　　 252,000円（住民税45,000円）　297,000円
45％（住民税10％）　　 283,500円（住民税45,000円）　328,500円
　親御さんの所得税の税率が上段の５％であれば、へのんさんの収入103万円を100円オーバーしても又は、遥かにアルバイト収入が増加しても親御さんの税額の増加は76,500円に限定されます。
仮にアルバイト収入が100万円オーバーして、203万円となったとき、へのんさん自身の増加する税金は84,100円（所得税28,000円、住民税56,100円）です。
ものは考えようです。
家計全体の収入が100万円の増加によって、増加税額約16万円（親御さん7.6万円、本人分8.4万円）です。しかし、家計全体の収入は、100万円－16万円で84万円の増加となります。
極端に100万円といかなくても少しでも収入の増加を望むというのは、家庭の中でよく話し合って行われているところかと思います。
しかし、家計全体の収入を採るか、1円でも納税を回避するかは、それぞれの価値観の違いの問題ですね。

（３）最後に社会保険のうち、健康保険についてです。
　現在は、親御さんの税金上の「扶養控除」を受けているのと同時に健康保険の「被扶養者」にもなっていると思料されますが、収入の増加によって「被扶養者」になれない場合が生じてきます。そのときは、自身で健康保険に加入するということも考える必要があるかと思います。
　1年間の一応の目安はあります。しかし、税金のように結果として暦の上での1年間に一定額を超えたことで即座に「扶養控除が非該当」とはならないかと思います。
　勤務先加盟の健保組合等に家族を健康保険の「被扶養者」として申請する場合の当該家族の収入制限があります。
　つまり、申請時点で、「前月以前3カ月間の収入の合計が325,000円以内」という規定です。これを4倍すると325,00円×４＝1,300,000円となることから、目安とはなるのですが、先ほど触れたように結果としての1年間の130万円という扱いではないかと思料されます。収入の増加状況により、親御さんの勤務先を通じて健保組合に相談される必要があるかと思います。
ご参考になれば幸です。