はじめましてアレス動物病院の沖田と申します。

　さて、やはり異物をこのまま放置するわけにはいかないと思われます。
　胃の中なら吐かせることができたり、あるいは内視鏡で撮れる可能性があったりということもありますが、腸に詰まってしまってはもう手術しか選択肢がなくなってしまいます。
　もし便から出る可能性のあるサイズなら別ですが(実際の大きさや材質を見てみないとわかりませんが、文章からたぶん無理ではないかと思うのですが)、そうでないのならすぐ手を打つべきです。

　路線としては
1．可能なら(体が大きくて大変かもしれませんが)、まずレントゲンを撮ってみて、どこにあるかの確認をする(胃なのかすでに腸に言っているのか)。
2．胃の中なら催吐剤で吐かせてみる(大きさによっては食道に詰まりそうだったら、この過程を省くかもしれません)
3．これで駄目なら、全身麻酔をかけて内視鏡での摘出をチャレンジ
4．これでもダメなら手術

　というのが一般的かもしれません。
　もちろんブルドックの全身麻酔は他の犬種よりもリスクは高いですが、要は治療せずに放置するリスクと麻酔のリスクを秤にかけるということになるのだと思います。

　以前うちの病院の患者さんで、ブルドッグさんで胃の中に長期間木の屑がたまっていた子がいて、吐いたり下痢したりはなく元気も食欲もありましたが、体重が18kgくらいまでじりじり痩せて行き、栄養失調になってしまいました。
　ましてや腸閉塞を起こしてしまっては、胃切開よりもはるかにリスクの高い手術となってしまいます。

　胃の中に異物があって、短期間ならともかく、何年も無事に過ごすというのはやはり無理がありますので、何らかの基礎疾患があってどうしても麻酔がかけられないという場合でもない限り、ブルドッグだろうが、パグだろうがやはり治療を考えるべきだと思います。

　その子の体重や体型にもよると思いますので、まずは主治医の先生に相談してみてください。
　このとき、飲み込んだものと同じものがあったら、それを持っていくと話が早いと思います。