（回答）

横顔の形が汚くて矯正したいとの事ですが、矯正治療だけでは、受け口は治りますが、下顎の頤部の突出感に大きな改善は期待出来ません。この場合は、下顎を後退させる外科手術が必要になりますが、
オトガイ部分が特に出ているのであれば、一般的には頤部切除手術（Reduction chinplasty）を用いて顎先のみ切除する方法が適応されると思います。
以下の疾病に付随する歯列不正、不正咬合の矯正歯科治療は、育成（更生）医療の適用となり、健康保険での矯正治療を行う事ができます。
たとえば、いわゆる顎変形症、唇顎口蓋裂、などです。また、手術を必要とする強度の反対交合（プロレスのアントニオ猪木さん）や上顎前突等も矯正治療が健康保険適用となりますが、頤部切除手術単独の手術の保険適応は難しいかもしれません。

あなたの場合、矯正だけで反対咬合を治すためには、顎のズレもある様ですので、最小限、左側第一小臼歯（糸切り歯の後ろの歯）1本の抜歯が必要と思われます。
この場合、少なくとも下顎全体の矯正が必要で、下顎全体の矯正の基本料は50～55万円＋装置料15万円(外から目立たない舌側装置）となります。
またこれに検査料、調整料そして保定装置料など10万円程かかります。
上顎の矯正を併用する場合は、部分か全体により、30～55万円程加算されます。
期間は全体矯正では歯を動かす期間が歯を抜く場合は2年です。また、保定期間は歯を動かした期間と同じだけかかります。

また、前歯だけの比較的軽症の受け口では、前歯だけの部分矯正で矯正可能なケースもあります。歯を動かす期間は部分矯正の場合は１年程です。

いずれにしても、しっかりとした検査・診断をした上で、ご本人の希望にそった治療方針を決定すべきだと思います。