けろけろこさんはじめまして。
フィールマインドカウンセラーの小日向るり子です。
今回は「不倫についての是非」論については述べずに回答を進めさせていただきますね。
現在『気分が落ち込む』『死にたい（希死念慮）』『大声で泣いてしまう』『食べられない』『眠れない』という状態になってしまっているのですね。
ご自身でも書かれている通り、自業自得とは言っても大変辛い状況だと思います。
病気か否かということは、私は医師ではないので診断をすることができず、またご相談文章だけでは何とも言い難いところではありますが、突然の展開に感情がパニックを起こしてそれが身体症状も伴って現れていると思います。
心療内科で初診がかなり先と言われたとのことですが、通える地域ではそこの病院しか心療内科、及び精神科はないでしょうか。
不眠・食べられないという状態が続くと脳が疲弊し、「死にたい」という感情がわいてきてしまうことがあります。
不倫は刑事罰ではありません。けろけろこさんが死んでも誰も得する人もいませんし、スッキリする人もいません。多くの人に迷惑をかけてしまうだけです。民事で要求されたものがあるのであれば、それをきちんと生きて遂行することがあなたの今後の使命です。

取り急ぎ、問い合わせをした病院を予約し、別の病院でもっと早く受診できるところを探すでもいいですし、不眠とパニック症状だけであれば、内科でも診てくれるところはあります。

ご自分が行ってきたこと、奥さまに関係がバレて条件を求められていることについて自身がどう対応していくのか、そして不倫関係を感情としてどう整理していくのか、等は一旦保留にし、まずは辛い心身症状を医師の元（場合によってはカウンセリング）で改善させ、脳の状態が冷静になってきてからそれらと向き合いましょう。
今の混乱した状態では建設的な思考は出てこないです。
なるべく早めに病院受診やカウンセリングをしてくださいね。