お悩み拝見いたしました。
早速回答させていただきたいと思います。
ただ私は弁護士や社会保険労務士ではないため、私が認識している内容を、あくまで参考意見として回答します。

1点目
許されることではないと思います。時間外手当が発生する事案だと思います。

相談する窓口としては厚生労働省が無料労働相談窓口を設置しています。
https://www.mhlw.go.jp/general/seido/chihou/kaiketu/soudan.html
出向くのが難しいと思いますので、その場合は電話相談として労働条件相談「ほっとライン」を利用するのもいいと思います。
https://www.check-roudou.mhlw.go.jp/lp/hotline/
その他各都道府県で無料労働相談窓口を設置しているところもありますので検索してみてください。いろいろと出てきます。

2点目
従業員からの退職願を突っぱねることは憲法にある基本的人権の職業選択の自由を侵害することとなり、違法であると考えます。
民法では2週間前までに申し入れることとありますので、退職希望日の2週間前に申し出れば（退職届を出す）問題ありません。
※有期雇用契約で契約初日から1年を経過していない場合は契約期間を全うする必要があります。

就業規則に退職の○○日前までになどと記載があっても民法が優先されます。

という感じだと認識しています。
ですのであなたは退職できる。と言えます。

医療事務のスキルをお持ちならば別の病院で働くこともできると思います。
もし可能であるならば転職活動を並行して行っておくこともお勧めします。
ストレスで体を壊すことのないよう、行動するなりしてくださいね。

Adjustment 村川圭一