uheijiさん、こんにちは。
弁護士の水嶋一途です。

さて、相続放棄のご相談についてですが、詳しいご事情がわからないので一般論にとどめさせていただきますが、次のとおりとなります。

相続放棄は、「相続の開始」を知ってから3カ月以内に行う必要があります。具体的な手続きについては家庭裁判所に「相続放棄の申述書」を提出することになります。

ただし、「単純承認」とみなされる場合には相続放棄をすることができません。「単純承認」とは、何の留保も付けないで被相続人(uheijiさんの場合はお父様)の権利義務を相続人が承継するということです。
例えば、相続財産の全部または一部を処分した場合、相続開始を知った時から3か月以内に相続放棄などの意思表示をしなかった場合、相続財産を隠したり使い込んでしまった場合、単純承認とみなされます。
uheijiさんのケースではご事情がよく分かりませんが、もし上記に該当するような場合には相続放棄をすることができない可能性があります。

uheijiさんのケースでは、お父様の借金を相続したくない、すなわちマイナスの財産の方が多いというご事情のようですが、相続財産の範囲内でのみ被相続人(お父様)の債務を負担するという「限定承認」という相続の仕方もあります(ただし、相続人全員が一致して限定承認する必要があります)。
限定承認の場合には、uheijiさんはお父様の借金返済の不足分についてご自分の財産から返済する必要はありません。

いろいろとお悩みのことと思いますが、よくお考えになって、一度専門家にご相談するとよろしいかもしれません。

少しでもuheijiさんのご参考になれば幸いです。