環の小坂です。

おそらく、現在はプロバイダの契約に付属でついている領域に
ホームページをアップし、独自ドメインは持っていないということでいいでしょうか？

それであれば、プロバイダは必ずしも変更する必要はありません。
プロバイダは回線をつなぐためのもので、レンタルサーバーはホームページやメール等を
保管するもので、本質的には別だからです。

・ですから現在のプロバイダと新しいレンタルサーバーを並行して契約するという形になります。
現在のプロバイダは回線をつなぐのに必要ですから、切り替えても構いませんが、
今回の件とは別の話ですので、切り離してお考えください。

次に、レンタルサーバーとドメインを取得すると、独自ドメインでＨＰの運用になりますし、
独自ドメインでメールアドレスの運用も可能です。
ですから、その旨は告知してください。
そして、ご記載されているように、現在のＨＰから新しいＨＰにリダイレクトをかけていただくことで、ユーザは迷わずに済みます。
検索エンジンもいずれ新しい方に切り替わります。（古い方にはいかなくなります。）

メールについては、外部に連絡される都度、新しくなったことを通知してください。
問い合わせ等はＨＰに専用のフォームを設ければ問題ないと思います。

今までのプロバイダを解約する必要はないので、そちらのメールも使えますから
引き続きご利用ください。

以上でいかがでしょうか？