machimachi様　FPの山宮と申します。

両方受け取ることは可能です。

受給手続としては、
教育訓練給付は資格スクール修了後1ヶ月以内に手続を行います。
スクールの領収証が必要ですので取っておいてください。

失業給付の方は退職後すぐに給付を受けることは難しいと思います。
7月まで資格スクールに通っている状態は、ハローワークでは求職状態と
みなされないこととなります。
求職状態とは、いつでも就職できる状態でないといけないことになります。

例えば、出産される方の場合はすぐに就職できる状態ではないので、退職
後に受給期間の延長手続をすることになります。
残念ながら、資格スクールに通うことは受給期間延長の対象にはなってい
ません。

したがって、失業給付の手続は資格スクール通学終了時の7月からハローワ
ークで失業給付の手続を取ることになりますが、その場合には、受給期間
の有効期限に注意しないといけません。
通常は退職してから1年が有効期間となります。
仮に8月1日に手続をした場合には、7日の待期期間と3ヶ月間の給付制限期間
がありますので、受給開始は11月になり、ギリギリになりそうです。
よって手続時期は期限を考慮したうえで手続してください。
受給可能日数は一般退職の場合には雇用保険加入期間10年未満の場合で90日
となります。

いずれにしても、退職されて離職票が手許に届いたら一度ハローワークで
両方の給付条件や手続について確認されることをお勧めします。