まず、産前産後休暇について、産後6週間はたとえ本人が希望しても就業は禁止しなければならず、必ず与えられなければならない強制休暇です。 就業させると会社側の違法行為となり、罰則もありますので注意してください。
(この期間の生活保障のため、健保から標準報酬日額の3分の2相当額が支給される出産手当金がありますが、制度がないとのなので、国民健康保険または国民健康保険組合の加入ということだと思います。そうでないなら制度があるはずです。)

　育児休業中の勤務についてですが、育児休業基本給付金の支給要件として「育児休業期間中の1か月間に、育児休業による休業が20日以上あること」とあり、例えば月31日で11日間の勤務なら、公休日も含めて20日間休んでいるので、育児休業基本給付金の対象となります。支払われる金額も賃金日額の50%以下ならば、育児休業基本給付金は減額されません。

　育児休業基本給付金の算定基礎になる賃金日額は、女性の場合は産前休暇取得前6ヶ月間の賃金実績になります。賞与など臨時で支払われる賃金、3ヶ月を超える期間毎に支払われる賃金は、賃金日額の計算に含まれません。育児休業中に賞与支給されても社会保険料は免除されます。復職後の支給ならば、当然社会保険料は徴収されます。
　働いた分を賞与などでまとめて後払いしてもらう事は、金額があいまいになったり払う払わないのトラブルが見受けられますので、あまりお勧めではありません。

　なお、育児休業期間中の健康保険料、厚生年金保険料は免除となりますが、育児休業をしていることが前提です。育児休業法に基づいた休業であれば特に収入についての制限はありませんが、実態として復職したと同様と見られれば、免除が認められないことは考えられます。月2、3日出勤した程度で免除が取り消されるということはありませんが、あくまで育児休業中である認識で対処してください。