スノーさん　接遇マナー面から鑑みると、スノーさんの選択に誤りはありません。
お客様にできないことを伝える敬語は、「いたしかねます」です。

ただ、社内の慣習は、先輩がおっしゃる「いたしておりません」「できません」という言葉を使うようにということなのだと思います。
過去に、曖昧にお客様に伝わってしまったことから、より明確に伝えようということになったのではないでしょうか。

言葉を介したやりとりは、伝えてである皆さんが意図するとおりに受け取ってもらえないことがあるものです。
なぜなら、お客様の商品や、御社のサービスに対する期待が高いからです。
期待をして、少しでも早く商品やサービスに触れたいと思う気持ちが高いお客様は、
自分の気持ちに沿わない応答を、聞き逃してしまったり、誤解して受け止めてしまったりするからです。
より伝わりやすい言葉を選んでほしいというのは、過去の出来事から生まれた知恵かもしれないので、これを機会に、先輩に背景を伺って見ると、より仕事への理解も深まるかもしれませんね。

別の面から、先輩に提案してみてほしいことがあります。
接遇マナーをよりスマートに発揮するために、
「できないこと」をストレートに伝えるだけでなく、
お客様の気持ちを伺うきっかけを作る言葉を添えてみるということです。

「3日以内のお届けはできません」
が、
「最短で、〇日のお届けになるので、少しでも早いお受け取り時間を指定されてはいかがでしょうか？」というように、できる範囲を明確にお客様に示すことによって、
お客様の意志を取り入れて応対するようにしてみてはいかがでしょうか。

正しい仕事をしようとする責任感の高いスノーさんができる工夫を考えると、
仕事が楽し目るようになるのではないでしょうか。
ぜひ、折り合いをつけて、すっきりお仕事してくださいね。