ご相談いただきありがとうございます。

今年6月18日に60歳の誕生日を迎えられたので、それ以降は国民年金第3号ではなくなります。
まずはお近くの年金事務所で、このまま老齢年金の受給が開始できる年齢（原則65歳）まで何もしなくていいのか、それとも年金を増やすために何かできることがあるのか、制度を確認されるとよいでしょう。

協会けんぽについて、常勤職員として働く日以降が、「健保のうえでの」扶養でなくなるときなので、協会けんぽの「扶養異動届」で収入増（見込み）を理由に扶養から外す手続きと、旦那様の会社が法人であれば、旦那様の会社で健保に加入する手続きをする必要があります。法人でないなら、お近くの市役所で国民健康保険に加入する手続きが必要です。

住民税はすでに5月に納付書が来ていると思います。住民税の額は前年の収入で決まりますので、今年中は何もする必要はありません。

所得税も年末調整まで何もすることはありません。年末調整で、扶養や配偶者控除の用紙にご自身の収入や所得を書くので、その額次第で今年の納税額は清算され、同時に来年の住民税の額を決める根拠にされる仕組みです。

なお、遡って支払うものはないように思われますが、どうしてもご心配なら回答補足欄にある書く相談先にお尋ねしてみてください。

三重県の社会保険労務士会の無料相談を受け、頭を整理してから改めて動かれる方が効率がよいでしょう。